ВМ 3 часть

Задание 1. (Проверка параметрических гипотез)

Условие задачи.

Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n-16 найдена средняя величина х =182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом №1. При выборке m-9 найдена средняя величина y =185 дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной 25 22 σσ yх ==. Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости α=0,01?

Решение:

Из теоретической части проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий и ее использование:

1. Строим статистику и ={х_в -у_в)1^<У;1п + су1т

При выполнении гипотезы Н_о, т. е. а_х =а_у величина U ~ N(0,1).

В условиях примера U_m61 — (185 — 182)/>/25/16 + 25/9 = -1,44. По заданному а=0,01 из таблицы функции Лапласа определим критические точки и,__я/2 = н_я_₂. Так как Ф(«₍₎₀₀₅) = 0,09/2, то Wo₀o5⁼2.57.

Значение С_;иб = -1,44 не попадает в критическую область (-oo;-2,57)N(+2,57;+oo), поэтому Н„ принимается, следовательно, отличия выборочных средних — случайная ошибка.

Пусть Х~Х(а_х, а_х), У~И(а_у, о_у), причем их дисперсии <т_л и о, неизвестны.

Выдвигается гипотеза о равенстве математических ожиданий:

Ну а_х=а_у, Ну а^а_у (Н^: а_х>а_у; Н^^2>: а_х<а_у).

Таким образом, при справедливости гипотезы Н_и статистика

Т = (х — у-) • у]пк(п + к -2)/(п + к) /^(п — 1)5² + (к —1)5² имеет t- распределение Стьюдента.

Задание 2. (Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности)

Масса (в граммах) 30 пачек полуфабоиката «Геркулес» такова:503,509,495,493,489,485,507,511,487,485,506,504,507,511,499,491,494,518,506,515, 487,509,507,488,495,490,498,497,492,495.

4) Построить статистический ряд распределения относительных частот;

5) Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности;

6) Найти вывборочную среднюю и выборочную дисперсию по распределению выборки

7) Найти несмещунную оценку математического ожидания дисперсии

8) Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины;

9-10) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины на уровне значимости α=0,05.

Решение.

Разобьем ряд на k =1+3.32lgn =1+3.32lg30 » 6 интервалов. Величина интервала

  =    » 6

Получим интервальный ряд:

Интервал	(484;490)	(490;496)	(496;502)	(502;508)	(508;514)	(514;520)
Середина интервал, zi	487	493	499	505	511	517
Ni	6	8	3	7	4	2
Wi	0.2	0.267	0.1	0.233	0.133	0.067

Найдем математическое ожидание:

M _z = _i * ω_i = 487*0.2+494*0.267+…+517*0.067=499.2;

Дисперсия D_z  = _z )² ** ω_i =( 487-499.2)² *0.2+…+(517-499.2)² *0.067=87.56

F( , где а= М_z=499.2, σ =

Найдем вероятности попадания случайной величины в интервалы.

P(484<X<490) = = -Ф(-1,149)) =

= 1

Р(490<X<496)= ) = = -Ф(-0.695)) =

=

P(496<X<502) = = -Ф(-0,242)) =

=

P(502<X<508) = = -Ф(-0,212)) =

=

P(508<X<514) = = -Ф(0.665)) =

=

P(514<X<520) = = -Ф(-1.118)) =

=

Найдем величину x² = n *  = 30* (    +

+ ) = 5.969

Из таблицы возьмем значение c² _ar   =c² _0.05.3 =7.815, где a = 0.05 – уровень значимости, r = l —t = 6-3 = 3 – число степеней свободы ( l – число интервалов, t = 3 – число условий). Т.к. c < =c² _0.05.3  , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

Условие задачи (ОПК-2, У3):

С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y.

Поставлены задачи:

11) Построить поле корреляции

12) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х

13) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y

14) Найти выборочный коэффициент корреляции

15) Построить линии регрессии в поле корреляции.

Решение:

Линейная регрессия Y на X задается уравнением ӯ₂ –ӯ= r_xy *